Hyperbolic hypergeometric functions

Hypergeometrische functies zijn een bepaalde klasse speciale functies. Deze functies heten speciaal omdat ze in veel toepassingen voorkomen, waaronder de combinatoriek (de kunst van het tellen) en het oplossen van differentiaalvergelijkingen. De simpelste hypergeometrische functies zijn bekende functies als de e-macht en de sinus. Een belangrijke deformatie van hypergeometrische functies vormen de q-hypergeometrische functies. Deze hangen af van een parameter q, en zijn een deformatie van de gewone hypergeometrische functies omdat ze voor q=1 gelijk zijn aan de oorspronkelijke hypergeometrische functies. Ook de q-hypergeometrische functies hebben bijzonder veel toepassingen. Een aantal van deze toepassingen gebruiken waarden van q waarvoor de q-hypergeometrische functies niet bestaan. Deze waarden corresponderen dan bijvoorbeeld met de situatie dat deeltjes massaloos worden in een natuurkundig model. Hyperbolisch hypergeometrische functies bieden een uitkomst in deze situaties. In wezen zijn hyperbolisch hypergeometrische functies een vervlechting van twee q-hypergeometrische functies met verschillende, ‘duale', waarden van q. Om de problemen aan te pakken voor foute waarden van q, wordt een verdubbeling uitgevoerd waarin een parallelle wereld aan de echte wereld wordt geplakt, zodat de twee werelden intrinsiek met elkaar verbonden zijn. Een beetje zoals in Lewis Carrolls Through The Looking Glass. Hierdoor is het probleem symmetrischer en is het mogelijk om oplossingen te vinden in termen van hyperbolisch hypergeometrische functies. Fokko van de Bult onderzocht wat de verdubbeling inhoudt voor de symmetriestructuren die achter dergelijke natuurkundige modellen liggen. Het geval dat hij bekeek correspondeerde in het bijzonder met de overgang van een quantumgroep naar de modulaire dubbel van die quantumgroep. Vervolgens leidde Van de Bult een heleboel identiteiten voor hyperbolisch hypergeometrische functies af door te beginnen met een functie met veel symmetrie en te kijken wat hier van overblijft als de degeneraties naar simpeler functies worden bekeken. Hiermee bewijst hij onder andere het merendeel van de bekende formules van hyperbolisch hypergeometrische functies opnieuw, maar ontdekte hij ook veel nieuwe identiteiten.