Hopf Symmetry and its breaking; Braid Statistics and Confinement in Planar Physics

Dit proefschrift gaat over symmetrie en statistiek. Bij symmetrie
moeten we hier denken aan symmetrieen van de natuurwetten, zoals
translatiesymmetrie; de natuurwetten zijn hier hetzelfde als een eind
verderop. Bij statistiek gaat het om zgn. topologische wisselwerkingen
tussen deeltjes in het systeem. Deze hebben een grote invloed op het
``gemiddelde'' gedrag van grote aantallen van zulke deeltjes en dus op
de manier waarop wij het systeem ervaren. In driedimensionale systemen
begrijpen we statistiek en symmetrie vrij goed. Er zijn twee typen
elementaire deeltjes, bosonen en fermionen, die verschillen in hun
topologische interacties. Door dit verschil zijn fermionische systemen
(bv. een tennisbal) een stuk "tastbaarder" dan bosonische (bv. een
lichtstraal). In twee dimensies ligt het heel anders: zowel symmetrie
als statistiek bieden daar meer mogelijkheden. In dit proefschrift
bestudeer ik deze mogelijkheden aan de hand van twee concrete
systemen:

Een quantum-Hall-systeem is een tweedimensionale vloeistof van
elektronen. Deze vloeistoffen worden in het laboratorium gemaakt bij
extreem lage temperaturen en sterke magneetvelden en ze vertonen
``belletjes'' die allerlei interessante eigenschappen hebben (ze zijn
bijvoorbeeld bosonisch noch fermionisch). Ik laat zien dat de
topologische interacties tussen deze belletjes (hun zgn. ``vlechtgedrag'') handig kunnen worden beschreven met behulp van Hopf algebra's.

IJktheorieen vormen de basis voor ons begrip van elementaire
deeltjes, zoals quarks, de bouwstenen van protonen en neutronen.
Quarks hebben de eigenschap dat ze niet van elkaar losgetrokken kunnen
worden. Dit fenomeen noemen we quarkopsluiting. Het precies
beschrijven van quarkopsluiting blijkt in het algemeen erg moeilijk.
De tweedimensionale ijktheorieen die wij bestuderen hebben echter
een Hopf-symmetrie die dit toch mogelijk maakt. Het blijkt dat
de opsluiting samenhangt met de breking van deze Hopf-symmetrie,
ongeveer zoals kristalvorming samenhangt met de breking van
translatiesymmetrie. Het breken van Hopf-symmetrie was nog onontgonnen
terrein en wij ontwikkelen hier een wiskundig formalisme voor. Met
behulp daarvan beschrijven we de verschillende ``fasen'' van de
theorie, met hun al dan niet opgesloten deeltjes.